新疆乌鲁木齐市第十二中学 陶建成
论文摘要：针对三角形的应用在高考中的地位日益凸显，本文对解斜三角形相关的实际问题进行了归纳、小结。
论文关键词：三角形 应用 几种常见题
解斜三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．
一、解题步骤
解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，弄清应用题中有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角等，根据题意画出示意图，分清已知和所求；
（2）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，把实际问题转化为解三角形的问题．
（3）通过正确地运用正弦定理和余弦定理来解三角形，一是要会解，二是要选择适当的方法求解．
（4）检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．
二、几种常见题目类型的解法
本文就求距离的几个类型进行简单的讨论
（一）两点能通视而不能到达求水平距离
例1、如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
分析：根据所给图形可以看出，在△ABC中，已知BC是半小时路程，只要根据所给的 方位角数据，求出∠ABC、∠A的大小，由正弦定理可以得出AC的长。
解：在△ABC中，BC＝（km）
∠ABC，
∴
由正弦定理，得
答：货轮到达C点是与灯塔A的距离是。
（二）两点都不能到达求水平距离
例2、如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝a，∠BCD＝b，∠BDC＝g ，∠ADC＝d ，试求AB的长．
分析：如图所示，对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝a -b，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解．而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解．
解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝a，∠ADC＝d，由正弦定理得
在△BCD中，由正弦定理得
在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为 ，所以用余弦定理．就可以求得
（三）求垂直距离
例3、如图，已知海中一小岛周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行30海里后，在处测得小岛在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续往南航行，有无触礁的危险？
分析：船继续向南航行，有无触礁的可能取决于到直线的距离是否大于38海里。于是我们只要先算出（或）的大小，再算处到所在直线的距离，将它与38海里比较即可得到答案。
解：在△中，BC，，，∴
由正弦定理知： ，即
∴
∴到所在直线的距离为：（海里）
它大于38海里，因此，船不改变航向，继续往南航行，没有触礁的危险。
（四）求距离最值问题
例4、距离船只A的正北方向100千米处有一船只B，以20千米/时的速度沿北偏西60角的方向行驶。A船只以15千米/时的速度向正北方向行驶。若两船同时出发问几小时后，两船相距最近？
分析：若设A行驶到C，B行驶到D，两船相距为CD的长，显然已构成ΔBCD，利用解三角形的知识可求出DC，即构造DC=f(x)的函数关系式。
解：设x小时后B行驶到D，A行驶到C，依题意得：BD=20x，BC=100-5x.则：
∴当x=(0,)时, 有最小值，也就是两船行驶小时后相距最近，最近距离为96千米。
总结: 对于解斜三角形的实际应用问题要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式定理，先求出哪些量，确定解三角形的方法，在演算过程中要算法简炼、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求。对于实际应用问题中的有关名词、术语要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等。
三、解斜三角形应用题常用到的方法小结：
四、相关练习及答案：
1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（ ）
A．－ B． C．－ D．
分析：先用正弦定理：可求出a∶b∶c=3∶2∶4，
所以可设a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：
即
答案：A
2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度
解：如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，∠SNM=180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
答：货轮的速度为里/小时
3．△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值
分析：由余弦定理可得，然后运用函数思想加以处理
解：
又∵cosC是方程2x2－3x－2=0的一个根 ∴
由余弦定理可得
则
当a=5时，c最小且c=
∴△ABC周长的最小值为
4．在湖面上高h米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为米
分析：因湖而相当于一平面镜，故云C与它在湖中之影D关于湖面对称，设云高为x=CM，则从△ADE，可建立含x的方程，解出x即可
解：如图所示，设湖面上高h米处为A，测得云的仰角为α，而C在湖中的像D的俯角为β，CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E，设云高CM=x
则CE=x－h，DE=x+h
解得：
5．在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西α1处，十分钟后船在A正北，又过十分钟后船到达A的北偏东α2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小(α1＞α2)
分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题
解：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得：
①
在△ACD中，由正弦定理可得：
②
根据题意，有BC=CD
∴由①、②得：
即
（α1＞α2）