吉林省白山市长白县实验中学 吕美坤
我国著名数学教育家曹才翰教授在其《中学数学教学概论》中指出：“思维能力的核心是概括能力。”著名思维发展心理学教学教授林崇德说：“数学能力就是概括能力。”以下我结合教学实践对培养数学概括能力的重要性及一般途径谈点浅见，望同仁指正。
一、数学概括能力的实质、构成因素及培养数学概括能力的重要性
所谓概括能力是影响概括活动顺利进行的那些稳定的个性心理特征，它表现为找出一类事物本质特性和把本质特性推广到同类事物中去，形成系统表述的能力。这样，数学概括能力是数学活动中表现出来的概括能力，即是概括数学对象、数量关系和空间形式的能力，它是一种特殊的概括能力。首先，这种概括是概括基础上的再概括，比如数学中的研究对象：数、点、线、面等概念本身都是现实中概括出来的，而数学概括是对这些经过概括得到的对象的再概括；其次，数学概括进行得迅速，并且结果也很简洁。
1.数学概括能力是学生学习数学的必要条件
我们知道，任何作为特殊认识活动的学习活动都离不开抽象和概括，否则，这种活动无法深入下去。因此，在数学学习中更需要进行抽象和概括，只有通过逐步地从具体到抽象的概括，才能使学生真正掌握数学知识。现代教学论要求我们，不仅要学生掌握数学知识的结论形式，而且还要认识数学知识的产生过程，而这两方面的学习都依靠对数学对象、结构、关系以及各种经验的概括。教学实践告诉我们，学生掌握数学知识直接受他们抽象概括能力的制约，如果学生的抽象能力（尤其是概括）差，既不能抓住事物的本质属性，就不能正确的获得知识，这充分说明了数学概括能力是学生学习数学所必需的能力。
2.培养学生的数学概括能力是中学数学教学的任务之一
中学数学教学大纲明确规定：“……以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。”从迁移的角度来看，实际上是培养学生的正迁移能力。正迁移能力强，说明学生适应新学习情境或分析问题、解决问题的能力强，心理学家贾德认为：概括是产生学习迁移的关键，学习者只有对他的经验进行了概括，获得了一般原理，才能实现从一个学习情景到另一个学习情景的迁移，才能“举一反三”、“闻一而知十”。概括的层次越高，迁移的半径越大。对此，曹才翰教授说：“在教学中，与其说为迁移而教，不如说为概括而教。”此话深刻地说出了培养数学概括能力的重要性。
二、概括的两种形式及培养数学概括能力的一般途径
概括有两种形式，即初级形式的经验的概括（或者叫感性概括）和高级形式的科学概括（或叫理性概括）。前者是一种低级的概括形式，它是根据事物的外部特征，对不同事物进行比较，舍弃他们互不相同的特征，对他们的共同特征加以概括。而后者是通过对感性认识经验加工改造，揭示事物一般的、本质的特征与联系的过程。为此，教师在教学中应善于创设问题情境，实施启发式教学，从而不断提高学生的概括水平。
1、.精心设计概念教学
精心设计数学概念形成过程的教学，让学生亲自经历由具体到抽象，概括事物本质属性的过程，以培养学生形成数学概念的概括能力。
如棱柱概念的形成，一般有如下几个步骤：
（1）教师举出常见的一些物体，如三棱镜、方砖、螺杆的头部，让学生辨别，分析以上物体的各自属性。（研究线面关系）
（2）让学生找出这些物体的共同属性（线面关系方面）
（3）通过抽象，提出本质属性的各种假设。
①
由面围成的几何体叫棱柱；
②
至少有两个面互相平行的几何体叫棱柱；
③
至少有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体叫棱柱；
④
每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱；
⑤
有两个互相平行，且每相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱。
运用变式、反例对假设进行检验，否定某些共同属性不是本质属性，以确认其本质属性。（这里的五种假设，用反例都可以否定，在此基础上，教师引导学生抽象概括出棱柱的本质属性：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且，每相邻两个四边形的公共边都互相平行）
（4）让学生举例，将上述本质属性推广到同类事物概括形成棱柱的概念，并用定义表示。
组织学生参与知识产生过程的教学活动，可使学生吃透新旧知识的联系，全面了解知识体系；还可以使学生看到知识本身曾有一个生动的发生、发展过程，通过产生过程的动机、方法，给人以启迪。
2、搞好解题教学
引导学生概括解题规律，以培养学生形成通则通法的概括能力，且用规律解决问题，进而培养学生迁移概括能力。
例如：
师生对求“弦长”的常用方法略作回顾，随后出题让学生做下题：
过椭圆的左焦点，作倾斜角为
的直线交椭圆于A、B两点，求弦长
。
对于这个问题，学生经过思考，采用了平面直角坐标系，极坐标系；利用了列方程组求交点坐标，再用两点间距离公式、椭圆第二定义、弦长公式、直线的参数方程、椭圆的极坐标方程等五种方法求解。然后教师提出问题，引导学生对求弦长的方法给予概括。
（1）将题目中的椭圆改为双曲线（如
）抛物线（如 ），用哪些方法求解？
（2）将题目中的焦点改为坐标平面内一定点，用哪些方法求解？
（3）你认为哪种方法是求弦长的通法。
师生共同概括求弦长的方法：
3、要注意直线斜率不存在的情形。
弦所在直线过定点P时，
①若点P恰是曲线C的焦点，用极坐标法（尤其是椭圆和抛物线时），此时要注意两点：第一，用定义解题；第二，双曲线的情形（指
时）。
②若点P不是曲线C的焦点，用直线的参数方程求解。
得出以上基本规律后，再引导学生应用、灵活选择最恰当的方法解决问题：可让学生解答下列问题：
已知抛物线C: 的一条弦AB。
(i)若AB过点P（ ，0），求 的取值范围
（ii）AB过点P（1，0）
，求直线AB的倾斜角
（iii）若！，求直线AB的方程。
过点A 的直线
与双曲线C：
交于不同两点P、Q，若
，求 的方程。
通过以上由特殊到一般、抽象概括、总结规律、推广应用等活动，不仅可以使学生弄清以上基本规律的来龙去脉，而且使学生的概括能力不断得到发展。