中科大团队证明凯勒几何两大核心猜想

中科大团队证明凯勒几何两大核心猜想

     中科大陈秀雄团队近日发表的两篇论文，解决了凯勒流形上的常标量曲率度量的存在性两大猜想——强制性猜想和测地稳定性猜想的充分性问题，同行评论称其为“凯勒几何里最重要结果中的上乘之作”

 几何物理中心创始主任陈秀雄教授（中）与程经睿（左）

两项数学界60多年来未解的猜想已告证明。近日，中国科学技术大学几何与物理研究中心主任陈秀雄及纽约州立大学石溪分校助理教授程经睿合作的两篇论文在《美国数学会杂志》（Journal of American Mathematical Society）上发表，论文解决了凯勒流形上的常标量曲率度量的存在性两大猜想——强制性猜想和测地稳定性猜想的充分性问题，同行评论称其为“凯勒几何里最重要结果中的上乘之作”。

过去60多年来，凯勒流形上的常标量曲率度量的存在性是几何学中的核心问题之一，而稳定性猜想、强制性猜想和测地稳定性猜想，是领域中三个著名的公开问题。

当被限制在凯勒-爱因斯坦度量时，稳定性猜想又称丘成桐猜想。20世纪90年代，著名数学家丘成桐提出，凯勒-爱因斯坦度量的存在性应该等价于代数几何中几何不变量意义下的稳定性。在弦论中，宇宙是十维的时空，除了一般四维时空外还有一个六维空间，而这些复杂的高维空间需要在凯勒-爱因斯坦度量中推演计算。2008年，陈秀雄、孙崧和菲尔兹奖得主唐纳森合作，给出了凯勒—爱因斯坦度量的存在性之丘成桐猜想的完整证明。

丘成桐猜想提出后的20多年，强制性猜想和测地稳定性猜想的必要性逐渐得到证明，而本次陈秀雄和程经睿的成果，就是证明了两者的充分性。在数学证明中，必要性条件一般弱于充分性条件，从弱条件得出强结论需要极为艰深的工作。

陈秀雄和程经睿认为，常标量曲率度量的存在性可转化成一类四阶完全非线性椭圆方程解的存在性，只要在K-能量强制性或测地稳定性的假设下，证明这类方程解的存在，就得到了强制性猜想和测地稳定性猜想中充分性的证明。

据中科大官网，“陈-程”的论文还有其他突破性的结果，例如，他们给出了环对称凯勒流形上稳定性猜想的证明，将唐纳森在环对称凯勒曲面上的经典定理推广到了高维。“尽管还有诸多困难需要克服，专家们相信稳定性猜想的完全解决已成为可能。在文章的预印本公开后的两年里，已经出现了一系列重要进展。”记者查询发现，早在2018年1月，两人就将论文的预印本放在了arXiv平台上。

    “陈和程最近的系列论文令人惊叹，诚为该领域一个实质性的突破。他们做出的先验估计前所未见，乃绝佳力作，并在此估计的基础上，获得了一系列重要结果。”美国科学院院士布莱恩·劳森如此评价道。

陈秀雄目前在美国纽约州立大学石溪分校任教授，他是中国科学技术大学几何与物理研究中心创始主任、上海科技大学数学科学研究所创始所长，同时任两机构的特聘教授，曾于2019年获得奥斯瓦尔德·维布伦几何学奖，该奖每三年颁发一次，是几何学与拓扑学领域的最高荣誉。程经睿则于2009年进入清华学堂数学班，2018年博士毕业于威斯康星大学麦迪逊分校，如今在纽约州立大学石溪分校任助理教授。两人在arXiv平台上发表上述预印本论文时，程经睿尚在攻读博士，导师之一即陈秀雄。

近年来，陈秀雄团队在偏微分方程和复几何领域取得了一些列重要进展：2020年，他与中科大几何与物理研究中心王兵合作，成功证明哈密尔顿-田猜想和偏零阶估计猜想，对里奇流研究影响甚大。此后，又与孙崧和王兵合作证明了极限的唯一性，并给出了丘成桐猜想的一个基于凯勒里奇流的新证明。